2
ralfeder
in
periodischer
Folge
auseinanderzieht
und
zusammendrückt und so das Kupferrad in Schwingung
versetzt. Für die Dämpfung wird eine elektromagneti-
sche
Wirbelstrombremse
(11)
verwendet.
Ein
Skalen-
ring (4) mit Schlitzen und Skala in 2-mm-Teilung um-
gibt das schwingende System; Zeiger befinden sich an
Erreger und Resonator.
Das
Gerät
kann
auch
in
der
Demonstration
zur
Schattenprojektion verwendet werden.
Eigenfrequenz:
ca. 0,5 Hz.
0 bis 1,3 Hz (stufenlos einstellbar)
Erregerfrequenz:
Anschlüsse:
Motor:
max. 24 V DC, 0,7 A,
über 4-mm-Sicherheitsbuchsen
Wirbelstrombremse:
0 bis 20 V DC, max. 2 A,
über 4-mm- Sicherheitsbuchsen
Skalenring:
300 mm Ø
400 mm x 140 mm x 270 mm
Abmessungen:
4 kg
Masse:
2.1 Lieferumfang
1 Drehpendel
2 Zusatzmassen 10 g
2 Zusatzmassen 20 g
3. Theoretische Grundlagen
3.1 Verwendete Formelzeichen
Winkelrichtgröße
D
=
Massenträgheitsmoment
=
J
Rücktreibendes Drehmoment
=
M
Periodendauer
=
T
T
0
Periodendauer des ungedämpften Systems
=
T
d
Periodendauer des gedämpften Systems
=
M
E
Amplitude des Erreger-Drehmoments
=
Dämpfungsmoment
=
b
Periodenzahl
=
n
Zeit
=
t
Λ
Logarithmisches Dekrement
=
δ
Dämpfungskonstante
=
ϕ
Auslenkwinkel
=
ϕ
0
Amplitude zur Zeit t = 0 s
=
ϕ
n
Amplitude nach n Perioden
=
ϕ
E
Erregeramplitude
=
ϕ
S
Systemamplitude
=
ω
0
Eigenfrequenz des schwingenden Systems
=
ω
d
Eigenfrequenz des gedämpften Systems
=
ω
E
Erregerkreisfrequenz
=
ω
E
res
Erregerkreisfrequenz für max. Amplitude
=
Ψ
0S
Systemnullphasenwinkel
=
3.2 Harmonische Drehschwingung
Eine harmonische Schwingung liegt vor, wenn die rück-
treibende Kraft proportional zur Auslenkung ist. Bei
harmonischen Drehschwingungen ist das rück-
treibende Drehmoment proportional zum Auslenk-
winkel
ϕ
:
M = D ·
ϕ
Der Proportionalitätsfaktor D (Winkelrichtgröße) lässt
sich durch Messung des Auslenkwinkels und des aus-
lenkenden Moments errechnen.
Die Eigenkreisfrequenz des Systems
ω
0
ergibt sich nach
Messung der Periodendauer T aus
ω
0
= 2
π
/T
und das Massenträgheitsmoment J aus
ω
0
2
=
D
J
3.3 Freie gedämpfte Drehschwingung
Bei einem schwingenden System, bei dem durch Rei-
bungsverluste Energie verloren geht, ohne dass diese
durch von außen zugeführte Energie kompensiert wird,
verringert sich die Amplitude ständig, d.h. die Schwin-
gung ist gedämpft.
Dabei ist das Dämpfungsmoment b proportional zur
Winkelgeschwindigkeit
ϕ
.
.
Aus dem Drehmoment-Gleichgewicht ergibt sich die
Bewegungsgleichung
J
b
D
⋅ + ⋅ + ⋅ =
ϕ
ϕ
ϕ
..
.
0
Für die ungedämpfte Schwingung ist b = 0
Beginnt die Schwingung zur Zeit t = 0 s mit der maxi-
malen Amplitude
ϕ
0
ergibt sich die Lösung der Diffe-
renzialgleichung bei einer nicht zu starken Dämpfung
(
δ
² <
ω
0
²) (Schwingfall)
ϕ
=
ϕ
0
·
e
–
δ
·t
· cos (
ω
d
·
t
)
δ
= b/2 J ist die Dämpfungskonstante und
ω
ω
δ
d
0
2
2
=
−
die Eigenfrequenz des gedämpften Systems.
Bei einer starken Dämpfung (
δ
² >
ω
0
²) schwingt das
System nicht, sondern kriecht in die Ruhelage (Kriech-
fall).
Die Periodendauer T
d
des gedämpft schwingenden Sys-
tems ändert sich gegenüber T
0
des ungedämpft schwin-
genden Systems bei nicht zu starker Dämpfung nur
geringfügig.
Durch Einsetzen von
t
=
n
·
T
d
in die Gleichung
ϕ
=
ϕ
0
·
e
–
δ
·t
· cos (
ω
d
·
t
)
und für die Amplitude nach n Perioden
ϕ
=
ϕ
n
erhält
man mit der Beziehung
ω
d
= 2
π
/
T
d
ϕ
ϕ
δ
n
0
d
=
⋅
− ⋅
e
T
n
und daraus das logarithmische Dekrement
Λ
:
Λ = ⋅ = ⋅
=
δ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
T
n
In
In
d
n
0
n
n+1
1
