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et ainsi le décrément logarithmique
Λ
:
Λ = ⋅ = ⋅
=
δ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
T
n
In
In
d
n
0
n
n+1
1
En remplaçant
δ
=
Λ
/
T
d
,
ω
0
= 2
π
/
T
0
et
ω
d
= 2
π
/
T
d
dans l’équation
ω
ω
δ
d
0
2
2
=
−
on obtient :
T
T
d
0
2
2
= ⋅ +
1
4
Λ
π
ce qui permet de calculer avec précision la durée d’une
période T
d
, dans la mesure où l’on connaît T
0
.
3.4 Oscillation tournante forcée
En présence d’oscillations tournantes forcées, un cou-
ple modifiable périodiquement par une fonction si-
nusoïdale agit de l’extérieur sur le système oscillant.
Ce couple d’excitation doit être complété dans l’équa-
tion de mouvement
J
b
D
M
t
⋅ + ⋅ + ⋅ =
⋅
⋅
(
)
ϕ
ϕ
ϕ
ω
..
.
sin
E
E
Après une certaine période transitoire, le pendule tour-
nant oscille dans un état stationnaire à la même fré-
quence angulaire que l’excitateur,
ω
E
pouvant encore
être déphasé par rapport à
ω
0
.
Ψ
0S
représente l’angle
de phase nulle du système, le déphasage entre le sys-
tème oscillant et l’excitateur.
ϕ
=
ϕ
S
· sin (
ω
E
·
t
–
Ψ
0S
)
Pour l’amplitude du système
ϕ
S
, on a l’équation sui-
vante :
ϕ
ω
ω
δ ω
=
−
(
) +
⋅
M
J
E
0
2
E
2
2
E
2
4
2
Pour le rapport entre l’amplitude du système et celle
de l’excitateur, on a l’équation suivante :
ϕ
ϕ
ω
ω
δ
ω
ω
ω
S
E
E
E
0
2
2
0
2
E
0
2
=
−
+
⋅
M
J
1
4
En cas de résonance (
ω
E
=
ω
0
), si les oscillations ne
sont pas amorties, l’amplitude augmente théorique-
ment jusqu’à l’infini et entraîne une « catastrophe de
résonance ».
Si les oscillations sont amorties et l’amortissement pas
trop important, l’amplitude du système est maximale,
la fréquence angulaire de l’excitateur
ω
E res
étant infé-
rieure à la fréquence angulaire propre du système.
Cette fréquence résulte de
ω
ω
δ
ω
Eres
0
2
0
2
=
⋅ −
1
2
Si l’amortissement est trop important, l’amplitude
n’augmente pas.
L’équation suviante s’applique à l’angle de phase nulle
du système
Ψ
0S
:
Ψ
0S
0
2
2
=
−
arctan
2
δ ω
ω
ω
ω
Si
ω
E
=
ω
0
(résonance), l’angle de phase nulle du sys-
tème
Ψ
0S
= 90°. Ceci s’applique également pour
δ
= 0
avec un passage correspondant à la limite.
Avec des oscillations amorties (
δ
> 0) et
ω
E
<
ω
0
, on
obtient 0°
≤
Ψ
0S
≤
90°, avec
ω
E
>
ω
0
on obtient 90°
≤
Ψ
0S
≤
180°.
Avec des oscillations amorties (
δ
= 0),
Ψ
0S
= 0° à
ω
E
<
ω
0
et
Ψ
0S
= 180° à
ω
E
>
ω
0
.
4. Manipulation
4.1 Oscillation tournante amortie libre
•
Relier le frein à courants de Foucault à la sortie de
tension réglable de l’alimentation du pendule tour-
nant.
•
Connecter l’ampèremètre au circuit électrique.
•
Déterminer la constante d’amortissement en fonc-
tion du courant.
4.2 Oscillation tournante forcée
•
Relier les douilles de connexion (16) du moteur
excitateur à la sortie de tension fixe de l’alimenta-
tion du pendule tournant.
•
Relier le voltmètre aux douilles de connexion (15)
du moteur excitateur.
•
Déterminer l’amplitude de l’oscillation en fonction
de la fréquence de l’excitateur et de la tension d’ali-
mentation.
•
Au besoin, relier le frein à courants de Foucault à
la sortie destinée à la tension réglable de l’alimen-
tation du pendule tournant.
4.3 Oscillations chaotiques
•
Pour générer des oscillations chaotiques, on peut
utiliser les 4 masses supplémentaires qui permet-
tent de modifier le couple de rappel linéaire du
pendule tournant.
•
Visser pour cela la masse au corps du pendule (5).
